[기초 통계] 조건부 확률

1. 조건부 확률이란?

한 사건이 다른 사건의 발생에 의존적인 경우입니다.

" | "는 해당 기호 뒤에 위치한 사건이 발생했을 때(조건)라는 의미입니다.

ex) 지각할 확률 P(A) = 5%

      조건: 타이어가 펑크(F) 났을 때 지각할 확률은 100%이다.

      P(A|F) = 100 %

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2. 독립이란?

하나의 사건이 다른 사건에 영향을 미치지 않는 경우를 말합니다.

이 때, 사건들이 독립이라면 두 사건의 확률을 곱할 수 있습니다.

ex) 동전이 앞면, 스페이드를 뽑을 확률

      P(H, S) = P(H) * P(S) = 1/2 * 1/4 = 1/8 -> 12.5%이다.

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3. 예시를 통한 실습

1. 그럼 만약 A, J가 동시에 지각할 확률을 계산할 경우는 어떻게 될 것인지 확인해보겠습니다.

• 서로 독립이므로 곱하면 된다는 것은 안좋은 판단입니다.
• A, J는 서로 같이 야근을 했기 때문에 지각을 했을 수도 있기 때문입니다. 그래서 조건부 확률이 필요합니다.
  • P(A|J) = J가 지각 했을 때(조건) A도 지각할 확률 20%
  • P(A|J) = 20%
• 이 것이 두 사건이 동시에 일어날 확률을 계산하는 진짜 방법입니다. 이를 "승법 정리"라고도 합니다.
  • P(J) * P(A|J) = 10% * 20% = 2%

그리고 알아야 할 것은 아래의 이미지의 교집합 부분과 같이 두 사건이 동시에 발생할 확률은 어느 한 사건이 단독으로 발생할 확률보다 클 수 없습니다.

확률을 면적이라 가정했을 경우

 

2. 컴퓨터의 바이러스 감염 여부에 따른 확률을 계산

• 사건 " + "는 바이러스 검사 결과 양성인 경우입니다.
• 사건 " - "는 바이러스 검사 결과가 음성일 경우입니다.
• 사건 " V "는 실제 바이러스 감염된 경우입니다.
• P(+ | V) = 99% -> 바이러스 감염된 컴퓨터를 검사하면 양성일 확률입니다.
• P(- | not V) = 99% -> 바이러스 감염되지 않은 컴퓨터 검사 시 음성일 확률입니다.
• P(V) = 1% -> 무작위로 한 대의 컴퓨터를 골랐을 때 감염된 확률입니다.
• 저희는 P(V | +)를 알아내려면 "베이즈 정리"를 활용해야 합니다.

베이즈 정리

P(A | B) * P(B) = P(B | A) * P(A) 입니다.

베이즈 정리는 트리 구조를 통해 확인하면 더욱 더 빨리 이해가 될 것입니다.

베이즈 정리

위의 트리의 숫자들을 이용하여 계산 하겠습니다.

P(V | +) * P(+) = P(+ | V) * P(V)

P(+) : 양성 판정 받을 확률 = 99 + 99 / 10000 = 1.98 입니다.

(P(B)=P(B∣A)*P(A)+P(B∣not A)*P(not A)) 이렇게 계산하셔도 됩니다.

P(+ | V) : 99 / 100 = 99% 입니다.

P(V) = 100 / 10000 = 1% 입니다.

 

이제 위의 수들을 베이즈 정리에 대입하면 P(V | +)의 값을 알 수 있습니다.

P(V | +) * 1.98 = 99% * 1% -> P(V | +) = (99% * 1%) / 1.98

즉, P(V | +) = 50% 입니다.

 

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이상입니다.